Módulo cruzado

En matemáticas, y sobre todo en la teoría homotopy, un módulo cruzado consiste en grupos G y H, donde G afecta a H (que escribiremos a la izquierda), y un homomorphism de grupos

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esto es equivariant con respecto a la acción de la conjugación de G en sí:

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y también satisface la llamada identidad de Peiffer:

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Origen

Parece que la primera mención de la segunda identidad para un módulo cruzado está en la nota al pie de la página 25 en p. 422 de artículo de 1941 de Whitehead citaron abajo, mientras el término `cruzado del módulo' se introduce en su artículo de 1946 citado abajo. Estas ideas bien se trabajaron en sus 1949 `Homotopy combinatorios de papel II', que también introdujo la idea importante de un módulo cruzado libre.

Ejemplos

Deje a N ser un subgrupo normal de un grupo G. Entonces, la inclusión

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es un módulo cruzado con la acción de la conjugación de G en N.

Para cualquier grupo G, los módulos sobre el anillo del grupo son G-módulos cruzados con d = 0.

Para cualquier grupo H, el homomorphism de H a Aut (H) envío de cualquier elemento de H a automorphism interior correspondiente es un módulo cruzado. Así tenemos una especie de `automorphism estructura' de un grupo, más bien que sólo un grupo de automorphisms.

Considerando cualquier extensión central de grupos

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el en homomorphism

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juntos con la acción de G en H define un módulo cruzado. Así, las extensiones centrales se pueden ver como módulos cruzados especiales. A la inversa, un módulo cruzado con el límite surjective define una extensión central.

Si (X, A, x) es un par puntiagudo de espacios topológicos, entonces el límite homotopy

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del segundo grupo homotopy relativo al grupo fundamental, se puede dar la estructura del módulo cruzado. Es un hecho notable que este functor

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satisface una forma del teorema de van Kampen, en el cual conserva cierto colimits. Ver el artículo sobre objetos cruzados en la topología algebraica abajo. La prueba implica el concepto de homotopy doble groupoid de un par puntiagudo de espacios.

El resultado en el módulo cruzado de un par también se puede expresar como: si

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es fibration puntiagudo de espacios, entonces el mapa inducido de grupos fundamentales

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se puede dar la estructura del módulo cruzado. Este ejemplo es útil en la K-teoría algebraica. Hay versiones dimensionales más altas de este hecho usando n-cubos de espacios.

Estos ejemplos sugieren que pueden pensar de módulos cruzados como "grupos de 2 dimensiones". De hecho, esta idea se puede hacer la teoría de la categoría de utilización precisa. Se puede mostrar que un módulo cruzado es esencialmente lo mismo como un grupo categórico o de 2 grupos: es decir un objeto del grupo en la categoría de categorías, o equivalentemente una categoría se oponen en la categoría de grupos. Mientras esto puede parecer intimidar, simplemente significa que el concepto del módulo cruzado es una versión del resultado de mezclar los conceptos de "grupo" y "categoría". Esta equivalencia es importante en entendimiento y utilización de versiones dimensionales aún más altas de grupos.

Clasificación de espacio

Cualquier módulo cruzado

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tiene un espacio de clasificación BM con la propiedad que sus grupos homotopy están Coker d, en la dimensión 1, Ker d en la dimensión 2, y 0 encima 2. Es posible describir cómodamente las clases homotopy de mapas de un CW-complejo a BM. Esto permite que demuestre que (puntiagudo, débil) homotopy 2 tipos son completamente descritos por módulos cruzados.

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