Avión euclidiano isometry

En la geometría, un avión Euclidiano isometry es un isometry del avión Euclidiano, o más informalmente, un modo de transformar el avión que conserva propiedades geométricas como la longitud. Hay cuatro tipos: traducciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones del deslizamiento (véase abajo bajo clasificación de avión Euclidiano isometries).

El juego del avión Euclidiano isometries forma un grupo bajo la composición: el grupo Euclidiano en dos dimensiones. Es generado por reflexiones en líneas, y cada elemento del grupo Euclidiano es el compuesto de como máximo tres reflexiones distintas.

Discusión informal

Informalmente, un avión Euclidiano isometry es cualquier modo de transformar el avión sin "deformarlo". Por ejemplo, suponga que el avión Euclidiano es representado por una hoja de la sesión plástica transparente en un escritorio. Los ejemplos de isometries incluyen:

Éstos son ejemplos de traducciones, rotaciones y reflexiones respectivamente. Hay un tipo adicional de isometry, llamado una reflexión del deslizamiento (véase abajo bajo la clasificación del avión Euclidiano isometries).

Sin embargo, el plegado, cortando o derritiendo la hoja no se considera isometries. Ninguno es modificaciones menos drásticas como flexión, estiramiento o torsión.

Definición formal

Un isometry del avión Euclidiano es una transformación que conserva la distancia del avión. Es decir es un mapa

:

tal esto para cualquier punto p y q en el avión,

:

donde d (p, q) es la distancia Euclidiana habitual entre p y q.

Clasificación de avión Euclidiano isometries

Se puede mostrar que hay cuatro tipos del avión Euclidiano isometries. (Note: las notas para los tipos de isometries puesto en una lista abajo completamente no se estandarizan.)

::

:or en términos de (x, y) coordenadas,

::

::

\begin {bmatrix} p_x \\p_y \end {bmatrix}. </matemáticas>

Los:These matrices son matrices ortogonal (es decir cada uno es una matriz cuadrada cuya transportan es su inverso, es decir), con el determinante 1 (la otra posibilidad para matrices ortogonal es &minus;1, que da una imagen especular, véase abajo). Forman el grupo ortogonal especial TAN (2).

La rotación de:A sobre c puede ser llevada a cabo por la primera traducción c al origen, luego realización de la rotación sobre el origen, y finalmente traducción del origen atrás a c. Esto es,

::

:or en otras palabras,

::

El:Alternatively, una rotación sobre el origen se realiza, seguida de una traducción:

::

:

:and entonces obtenemos la reflexión de p por la substracción,

:

La combinación de rotaciones sobre el origen y reflexiones sobre una línea a través del origen se obtiene con todo matrices ortogonal (es decir con el determinante 1 y &minus;1) formación del grupo ortogonal O (2). En caso de un determinante de &minus;1 tenemos:

::

\begin {bmatrix} p_x \\p_y \end {bmatrix}. </matemáticas>

que es una reflexión en el eje X seguido de una rotación por un ángulo θ, o equivalentemente, una reflexión en una línea que hace un ángulo de θ/2 con el eje X. La reflexión en una línea paralela equivale a la adición de un perpendicular del vector a ello.

::

:or en otras palabras,

::

: (También es verdad esto

::

El:that es, obtenemos el mismo resultado si hacemos la traducción y la reflexión en el pedido de enfrente.)

:Alternatively nos multiplicamos por una matriz ortogonal con el determinante &minus;1 (correspondiente a una reflexión en una línea a través del origen), seguido de una traducción. Esto es una reflexión del deslizamiento, excepto en el caso especial que la traducción es perpendicular a la línea de reflexión, en cuyo caso la combinación es sólo una reflexión en una línea paralela.

La identidad isometry, definido por (p) = p para todos los puntos p soy un caso especial de una traducción, y también un caso especial de una rotación. Es único isometry que pertenece a más de un de los tipos descritos encima.

En todos los casos multiplicamos el vector de la posición por una matriz ortogonal y añadimos un vector; si el determinante es 1 tenemos una rotación, una traducción o la identidad, y si es &minus;1 tenemos una reflexión del deslizamiento o una reflexión.

Isometry "arbitrario", como la toma de una hoja de papel de una mesa y al azar colocación de ello atrás, "casi seguramente" es una rotación o una reflexión del deslizamiento (tienen tres niveles de la libertad). Esto se aplica sin tener en cuenta los detalles de la distribución de probabilidad, hasta los θ y la dirección del vector añadido son independientes y uniformemente distribuidos y la longitud del vector añadido tiene una distribución continua. Una traducción pura y una reflexión pura son casos especiales con sólo dos niveles de la libertad, mientras la identidad es aún más especial, sin niveles de la libertad.

Isometries como grupo de reflexión

Las reflexiones o espejo isometries, se pueden combinar para producir cualquier isometry. Así los isometries son un ejemplo de un grupo de reflexión.

Combinaciones del espejo

En el avión Euclidiano, tenemos las posibilidades siguientes.

Las reflexiones de:Two en el mismo espejo devuelven cada punto a su posición original. Todos los puntos se dejan fijados. Cualquier par de espejos idénticos tiene el mismo efecto.

El:As que Alice encontró a través del espejo, un espejo solo hace que manos derechas e izquierdas cambien. (En términos formales, la orientación topológica se invierte.) Los puntos en el espejo se dejan fijados. Cada espejo tiene un efecto único.

Los espejos de cruce distintos del:Two tienen un punto solo en común, que permanece fijo. Todos otros puntos giran alrededor de ello por dos veces el ángulo entre los espejos. Cualquier dos espejo con el mismo punto fijo y mismo ángulo da la misma rotación, mientras que se usan en el pedido correcto.

El:Two espejos distintos que no se cruzan debe ser paralelo. Cada punto mueve la misma cantidad, dos veces la distancia entre los espejos, y en la misma dirección. Ningunos puntos se dejan fijados. Cualquier dos espejo con la misma dirección paralela y la misma distancia aparte da la misma traducción, mientras que se usan en el pedido correcto.

Espejos de:Three. Si son toda la paralela, el efecto es lo mismo como un espejo solo (deslice a un par para anular el tercer). Por otra parte podemos encontrar un arreglo equivalente donde dos son paralelos y el tercer es perpendicular a ellos. El efecto es una reflexión combinada con una traducción paralela al espejo. Ningunos puntos se dejan fijados.

Tres espejos bastan

La adición de más espejos no añade más posibilidades (en el avión), porque siempre se pueden reajustar para causar la cancelación.

:Proof. Un isometry es completamente determinado por su efecto en tres independientes (no collinear) puntos. Así suponga p, p, p mapa a q, q, q; podemos generar una secuencia de espejos para conseguir esto así. Si p y q son distintos, eligen su bisector perpendicular como el espejo. Ahora el p traza un mapa a q; y pasaremos todos los espejos adicionales a través de q, dejarlo fijó. Llame las imágenes de p y p bajo esta reflexión p&prime; y p&prime;. si q es distinto de p&prime; biseque el ángulo en q con un nuevo espejo. Con p y p ahora en el lugar, el p está en p&prime;&prime;; y si no está en el lugar, un espejo final a través de q y q lo tirará a q. Así como máximo tres reflexiones bastan para reproducir cualquier avión isometry. ∎

Reconocimiento

Podemos reconocer cuál de estos isometries tenemos según si conserva manos o los cambia, y si tiene al menos un punto fijo o no, como mostrado en la mesa siguiente (omitiendo la identidad).

:

Estructura del grupo

Isometries que requieren un número impar de espejos — reflexión y reflexión del deslizamiento — siempre ponen marcha atrás derecho e izquierdo. Hasta los isometries — identidad, rotación y traducción — nunca hacen; equivalen a movimientos rígidos y forman un subgrupo normal del grupo Euclidiano lleno de isometries. Ni el grupo lleno ni el subgrupo plano son abelian; por ejemplo, la inversión del pedido de composición de dos espejos paralelos invierte la dirección de la traducción que producen.

:Proof. La identidad es un isometry; nada cambia, por tanto la distancia no puede cambiar. Y si un isometry no puede cambiar la distancia, ninguno puede dos (o tres, o más) en la sucesión; así la composición de dos isometries es otra vez un isometry, y el juego de isometries se cierra bajo la composición. La identidad isometry también es una identidad para la composición, y la composición es asociativa; por lo tanto los isometries satisfacen los axiomas para un semigrupo. Para un grupo, también debemos tener un inverso para cada elemento. Para anular una reflexión, simplemente lo formamos consigo. (Las reflexiones son involuciones.) Y ya que cada isometry se puede expresar como una secuencia de reflexiones, su inverso se puede expresar como esa secuencia invertida. Note que la cancelación de un par de reflexiones idénticas reduce el número de reflexiones por un número par, conservando la paridad de la secuencia; también note que la identidad tiene hasta la paridad. Por lo tanto todos isometries forman un grupo, y hasta isometries un subgrupo. (Isometries raros no incluyen la identidad, tan no son un subgrupo.) Este subgrupo es un subgrupo normal, porque sandwiching hasta isometry entre dos raro cede un hasta isometry. ∎

Ya que el subgrupo plano es normal, es el grano de un homomorphism a un grupo del cociente, donde el cociente es isomorphic a un grupo que consiste en una reflexión y la identidad. Sin embargo el grupo lleno no es un producto directo, pero sólo un producto semidirecto, del subgrupo plano y el grupo del cociente.

Composición

La composición de isometries mezcla clases de modos variados. Podemos pensar en la identidad como dos espejos o como ninguno; los uno o el otro camino, no tiene efecto en la composición. Y dos reflexiones dan una traducción o una rotación o la identidad (que es ambos, de un modo trivial). La reflexión formada con cualquiera de éstos podría anular abajo a una reflexión sola; por otra parte da único isometry de tres espejos disponible, una reflexión del deslizamiento. Un par de traducciones siempre reduce a una traducción sola; por tanto los casos provocativos implican rotaciones. Sabemos una rotación formada con una rotación o con una traducción debe producir un hasta isometry. La composición con la traducción produce otra rotación (por la misma cantidad, con el punto fijo cambiado), pero la composición con la rotación puede ceder la traducción o la rotación. A menudo se dice que la composición de dos rotaciones produce una rotación, y Euler demostró un teorema a ese efecto en el 3D; sin embargo, esto sólo es verdad para rotaciones que comparten un punto fijo.

Traducción, rotación y subgrupos ortogonales

Así tenemos dos nuevas clases de subgrupos isometry: todas las traducciones y rotaciones que comparten un punto fijo. Ambos son subgrupos del subgrupo plano, dentro del cual las traducciones son normales. Como las traducciones son un subgrupo normal, podemos el factor ellos salida del subgrupo de isometries con un punto fijo, el grupo ortogonal.

:Proof. Si dos rotaciones comparten un punto fijo, entonces podemos girar al par del espejo de la segunda rotación para anular los espejos interiores de la secuencia de cuatro (dos y dos), abandonando sólo al par externo. Así la composición de dos rotaciones con un punto fijo común produce una rotación por la suma de los ángulos sobre el mismo punto fijo.

:If dos traducciones son paralelas, podemos deslizar al par del espejo de la segunda traducción para anular el espejo interior de la secuencia de cuatro, mucho como en el caso de orden. Así la composición de dos traducciones paralelas produce una traducción por la suma de las distancias en la misma dirección. Ahora suponga que las traducciones no son paralelas, y que la secuencia del espejo es A, un (la primera traducción) seguido de B, B (el segundo). Entonces A y B se debe cruzar, decir en c; y, nueva asociación, somos libres de girar a este par interior alrededor de c. Si giramos 90 °, una cosa interesante pasa: ahora A y A&prime; crúcese en un 90 ángulo de °, diga en p, y tan haga B&prime; y B, dicen en q. Otra vez asociándonos de nuevo, giramos al primer par alrededor de p para hacer B&Prime; pase por q y gire al segundo par alrededor de q para hacer A&Prime; pase por p. Los espejos interiores ahora coinciden y anulan, y dejan los espejos externos paralela. Así la composición de dos traducciones no paralelas también produce una traducción. También, los tres puntos del pivote forman un triángulo cuyos bordes dan el gobierno del jefe a la cola de la adición del vector: 2 (p c) + 2 (c q) = 2 (p q). ∎

Construcción del grupo anidada

La estructura del subgrupo sugiere otra manera de formar isometry arbitrario:

: Escoja un punto fijo y un espejo a través de él.

  1. Si el isometry es raro, use el espejo; por otra parte no haga.
  2. Si es necesario, gire alrededor del punto fijo.
  3. Si es necesario, traducir.

Esto trabaja porque las traducciones son un subgrupo normal del grupo lleno de isometries, con el cociente el grupo ortogonal; y las rotaciones sobre un punto fijo son un subgrupo normal del grupo ortogonal, con el cociente una reflexión sola.

Subgrupos distintos

Los subgrupos hablaron hasta ahora sólo no son infinitos, también son continuos (Salga grupos mintiendo). Cualquier subgrupo que contiene al menos una traducción distinta a cero debe ser infinito, pero los subgrupos del grupo ortogonal pueden ser finitos. Por ejemplo, los symmetries de un pentágono regular consisten en rotaciones por múltiplos del número entero de 72 ° (360 ° / 5), junto con reflexiones en los cinco espejos que perpendicularmente bisecan los bordes. Esto es un grupo, D, con 10 elementos. Tiene un subgrupo, C, de la mitad de la talla, omitiendo las reflexiones. Estos dos grupos son miembros de dos familias, D y C, para cualquier n> 1. Juntos, estas familias constituyen los grupos del rosetón.

Las traducciones no doblan atrás en sí, pero podemos tomar múltiplos del número entero de cualquier traducción finita o las sumas de los múltiplos de dos tales traducciones independientes, como un subgrupo. Éstos generan el celosía de un embaldosado periódico del avión.

También podemos combinar estas dos clases de grupos distintos — las rotaciones distintas y reflexiones sobre un punto fijo y las traducciones distintas — para generar los grupos del friso y grupos del empapelado. Con curiosidad, se encuentra que sólo algunos de los grupos del punto fijo son compatibles con traducciones distintas. De hecho, la compatibilidad del celosía impone una restricción tan severa que, hasta el isomorfismo, tenemos sólo 7 grupos del friso distintos y 17 grupos del empapelado distintos. Por ejemplo, el pentágono symmetries, D, es incompatible con un celosía distinto de traducciones. (Cada dimensión más alta también tiene sólo un número finito de tales grupos crystallographic, pero el número crece rápidamente; por ejemplo, el 3D tiene 320 grupos y 4D tiene 4783.)

Isometries en el avión complejo

En términos de números complejos, el isometries del avión cualquiera de la forma

:

o de la forma

:

para algunos números complejos a y ω con | ω | = 1. Esto es fácil a demostrar: si un = f (0) y ω = f (1) &minus; f (0) y si uno define

:

entonces el g es un isometry, g (0) = 0 y g (1) = 1. Es fácil entonces ver que g es la identidad o la conjugación, y la declaración probada sigue de esto y del hecho que f (z) = un + ωg (z).

Esto obviamente se relaciona con la clasificación anterior del avión isometries, desde entonces:

Véase también

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