De acá para allá método

En la lógica matemática, sobre todo teoría de conjuntos y teoría modela, de acá para allá el método es un método para mostrar el isomorfismo entre estructuras contablemente infinitas que satisfacen condiciones especificadas. En particular:

Aplicación a juegos densamente pedidos

Suponga esto

Son Son

Enumeraciones del apuro (sin repetición) de los juegos subyacentes:

:A = {a, a, a, …},

:B = {b, b, b, …}.

Ahora construimos una correspondencia de uno a uno entre A y B que aumenta estrictamente. Al principio ningún miembro de A se empareja con ningún miembro de B.

: (1) Dejan yo ser el índice más pequeño tal que ser todavía no emparejado con cualquier miembro de B. Deje a j ser algún ponen índice tal que b todavía no se empareja con ningún miembro de A y una lata emparejarse con b consecuentemente con el requisito que el apareamiento aumentar estrictamente. Aparéese un con b.

: (2) Dejan a j ser el índice más pequeño tal que b todavía no se empareja con ningún miembro de A. Deje yo ser algún ponen índice tal que ser todavía no emparejado con cualquier miembro de B y b se puede emparejar con un consecuentemente con el requisito que el apareamiento aumentar estrictamente. Par b con a.

: (3) Vuelven al paso (1).

Todavía se tiene que comprobar que la opción requerida en el paso (1) y (2) realmente se puede hacer en el acuerdo con los requisitos. La utilización del paso (1) como un ejemplo:

Si hay ya a y un en un correspondiente a b y b en B respectivamente tal que a y b, elegimos b entre b y b utilización de la densidad. Por otra parte, elegimos un elemento grande o pequeño conveniente de B utilización del hecho que B no tiene ni un máximo, ni mínimo. Las opciones hechas en el paso (2) son dualmente posibles. Finalmente, los finales de construcción después contablemente muchos pasos porque A y B son contablemente infinitos. Note que tuvimos que usar todos los requisitos previos.

Si sólo iteráramos el paso (1), más bien que ir de acá para allá, entonces en algunos casos la función que resulta de un a B no podría ser surjective. En el caso fácil de juegos densos totalmente pedidos ilimitados es posible evitar el paso 2 eligiendo el elemento b más con cuidado (eligiendo j lo menos posible), pero esto no trabaja para ejemplos más complicados como el atomless álgebras Booleanas donde los pasos 1 y 2 son ambos necesarios.

Historia

Según Hodges (1993):

Los métodos de:Back-forth a menudo se asignan a Cantor, Bertrand Russell y C. H. Langford […], pero no hay ningunas pruebas para apoyar cualquiera de estas atribuciones.

Mientras el teorema en juegos contables densamente pedidos es debido a Cantor (1895), de acá para allá el método con el cual se prueba ahora fue desarrollado por Huntington (1904) y Hausdorff (1914). Más tarde fue aplicado en otras situaciones, el más notablemente por Roland Fraïssé en la teoría modela.

También ver: juego de Ehrenfeucht-Fraïssé.



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